Заходим в административную панель Joomla, после чего направляемся в менеджере плагинов и ищем CAPTCHA - reCAPTCHA. Открываем редактирование.
Здесь мы видим, что требуются некие ключи, где взять? У Google – (кликать сюда).
После чего Вы попадёте на страницу, зарегистрировав на сайте которой – получите ключи, их нужно будет скопировать в соответствующие ячейки.
Когда какой-нибудь компонент выдаёт ошибку Joomla PLG_RECAPTCHA_ERROR_NO_PUBLIC_KEY, это как раз и означает, что данный плагин у Вас не настроен.